Juros Compostos

Juros Compostos na HP-12C ​


​1. Uma letra de câmbio com prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 100.000,00 foi adquirida por R$ 91.500,00. Qual foi a taxa mensal da operação?


Pela HP-12C​
91.500 CHS PV
100.000 FV
2 n
i = 4,54% a.m.


​Pela Fórmula
FV = PV x ( 1 + i^n )
100.000,00 = 91.500,00 x ( 1 + i^n )
( 1 + i^0,5 )= ( 100.000,00 / 91.500,00 )
( 1 + i^0,5 ) = ( 1,092896 )
( 1 + i^0,5 ) = 1,045417
i = 1,045417 - 1
i = 0,045417 x 100 = 4,54% a.m.


2. Qual o montante (FV) de um capital de R$ 500.000,00 aplicado a taxa de 4,5% ao mês por um período de seis meses?​​

​​


​3. O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por M(x) = 50.000 * 1,08^x, x = 0 o momento em que foi realizada a aplicação.
A) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
B) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento do montante em um ano?
C) Esboce o gráfico de M(x).
D) Após quanto tempo o montante será R$ 80.000,00?


O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por M(x) = 50.000 * 1,08^x, x = 0 o momento em que foi realizada a aplicação.
A) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial.
x = 1
50.000 * 1,08^1
50.000 * 1,08
54,000


x = 5
50.000 * 1,08^5
50.000 * 1,469
73.466,40


x = 10
50.000 * 1,08^10
50.000 * 2,158
107.946,24


B) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento do montante em um ano?

Inicialmente a aplicação vale 50.000

54.000 - 50.000 = 4.000
4.000 / 50.000 = 0,08
0,08 * 100 = 8%


Aumento de 8%

C) Esboce o gráfico de M(x).
D) Após quanto tempo o montante será R$ 80.000,00?

Para calcular esse valor precisamos usar a tecla "In" na calculadora. Mas antes precisamos simplificar a função.

80.000 = 50.000 * 1,08^x
80.000 / 50.000 = 1,08^x
1,6 = 1,08^x


Agora nós passamos o 1,08 para o outro lado dividindo, e adicionamos o "In".

In 1,6 / In 1,08 = x
0,47 / 0,07 = x
6,10 = x


Ou seja, a aplicação estará valendo 80.000 após aproximadamente 6,10 anos.

Vamos conferir
50.000 * 1,08^6,10
50.000 * 1,59
79.956,70


Não deu exatamente 80.000 porque não foi usado a quantidade necessária de casas decimais.


4. Expresse o valor Multiplicativo (Índice) que aplico a um determinado valor quando:

A) Aumento de 25%
B) Aumento de 13%
C) Aumento de 3%
D) Aumento de 1%
E) Aumento de 100%
F) Aumento de 4,32%
G) Diminuição de 35%
H) Diminuição de 18%
I) Diminuição de 4%
J) Diminuição de 2%
K) Diminuição de 6,17%
L) Diminuição de 0,5% ​​

​Expresse o valor Multiplicativo que aplicado a uma quantidade represente.

A) Aumento de 25%
B) Aumento de 13%
C) Aumento de 3%
D) Aumento de 1%
E) Aumento de 100%
F) Aumento de 4,32%
G) Diminuição de 35%
H) Diminuição de 18%
I) Diminuição de 4%
J) Diminuição de 2%
K) Diminuição de 6,17%
L) Diminuição de 0,5%

A - 1,25
B - 1,13
C - 1,03
D - 1,01
E - 2
F - 1,0432
G - 0,65
H - 0,82
I - 0,96
J - 0,98
K - 0,9383
L - 0,995


5. Uma empresa fez um empréstimo de R$ 35.000,00 que será corrigido a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos.

A) Obtenha a função da divida M como função dos meses x após a data do empréstimo.
B) Obtenha o montante da divida após 1, 12, 24 e 36 meses.
C) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano.
D) Após quanto tempo o valor do montante será R$ 45,000?

Uma empresa fez um empréstimo de R$ 35.000,00 que será corrigido a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos.

A) Obtenha a função da divida M como função dos meses x após a data do empréstimo.
M = 35.000 * 1.025^x

B) Obtenha o montante da divida após 1, 12, 24 e 36 meses.

x = 1
35.000 * 1,025^1
35.000 * 1,025
35.875

x = 12
35.000 * 1,025^12
35.000 * 1,344
47.071,10

x = 24
35.000 * 1,025^24
35,000 * 1,808
63.305,40

x = 36
35.000 * 1,025^36
35.000 * 2.432
85.138,73

C) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano.

47.071,10 - 35.000
12.071,10 / 35.000
0,344888571

Convertendo esse valor para um valor multiplicativo ficamos com:

1,344888571

Agora conferindo o resultado:

35.000 * 1,344888571
47.071,09

O valor não foi exato pois faltam casas decimais no valor multiplicativo.

D) Após quanto tempo o valor do montante será R$ 60,000?

60.000 = 35.000 * 1.025^x
60.000 / 35.000 = 1,025^x
1,71 = 1,025^x

In 1,71 / In 1,025 = x
0,536493 / 0,024673 = x
21,73 = x

Ou seja, a aplicação estará valendo 60.000 após aproximadamente 22,18 meses.


6. O preço de um produto aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial é de R$ 28,50, e a taxa de aumento é de 3,5% ao mês.

A) Obtenha a função exponencial P dos meses T.
B) Calcule o preço médio do produto após 1, 5 e 10 meses.
C) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano.
D) Após quanto tempo o preço médio do produto duplicará? e quadruplicará?

O preço de um produto aumenta conforme uma função exponencial. O preço médio inicial é de R$ 28,50, e a taxa de aumento é de 3,5% ao mês.

A) Obtenha a função exponencial P dos meses T.

P(T) = 28,50 * 1,035^T

B) Calcule o preço médio do produto após 1, 5 e 10 meses.

x = 1
28,50 * 1,035^1
28.50 * 1,035
29,49

x = 5
28,50 * 1,035^5
33,84

x = 10
28,50 * 1,035^10
40,20

C) Utilizando apenas a base da função, determine o aumento percentual em um ano.

x = 12
28,50 * 1,035^12
43,06

43,06 - 28,50
14,56 / 28,50
0.51

0,51 * 100
51,08%

Percentual de aumento anual é de 51,08%

D) Após quanto tempo o preço médio do produto duplicará? e quadruplicará?

57,00 = 28,50 * 1,035^x
57,00 / 28,50 = 1,035^x
2 = 1,035^x

Agora nós vamos calcular o Logaritmo Natual (LN) dos dois lados da equação, pela propriedade de mudança de base nos logaritimos temos:

In 2 / In 1,035 = x
ln 0,673147 / 20.14 = x

114 = 28,50 * 1,035^x
114 / 28,50 = 1,035^x
4 = 1,035^x

In 4 / In 1,035 = x
40,29

Duplicará em aproximadamente 20,14 meses.
Quadruplicará em aproximadamente 40,29 meses.


7. Uma cidade no ano de 2010 tem 1.350.000 habitantes e, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.

A) Obtenha a função P em função dos anos T.
B) Estime a população para a cidade nos anos de 2010, 2011, 2015 e 2020.
C) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?
D) Em qual ano a população chegará em 1.500.000 habitantes?
E) Após quanto tempo a população duplicará?

Uma cidade no ano de 2010 tem 1.350.000 habitantes e, sua população cresce de forma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano.

A) Obtenha a função P em função dos anos T.

P(T) = 1.350.000 * 1,0126^T

B) Estime a população para a cidade nos anos de 2011, 2015 e 2020.

T = 1
1.350.000 * 1,0126^1
1.367.010

T = 5
1.350.000 * 1,0126^5
1.437.220,43

T = 10
1.350.000 * 1,0126^10
1.530.075,98

C) Qual o aumento percentual na primeira década? E na segunda década?

1.530.075,98 - 1.350.000
180.075,98
0,1333

0,1333 * 100

13,33% de aumento por década.

28,46% de aumendo na segunda década(Para encontrar esse valor, utilize T = 20 no calcúlo anterior) D) Em qual ano a população chegará em 1.500.000 habitantes?

1.500.000 = 1.350.000 * 1,0126^T
1.500.000 / 1.350.000 = 1,0126^T
1.11 = 1,0126^T

In 1,11 / in 1,0126 = T
8.41

Aproximadamente no ano de 2018.

E) Após quanto tempo a população duplicará?

2.700.000 = 1.350.000 * 1,0126^x
2.700.000 / 1.350.000 = 1,0126^x
2 = 1,0126^x

In 2 / In 1,0126 = x

55.35

Aproximadamente após 55,35 anos,. no ano de 2065


8. Em uma mina de carvão precisa ser estimado a quantidade de carvão que ainda há na mina. Para isso foi demonstrada a quantidade que havia no primeiro ano de extração e no terceiro, 1º ano - 917.504 3º ano - 702.464

A) Obtenha a função que representa a diminuição de carvão.
B) Qual a diminuição anual de carvão?
C) Qual a quantidade de carvão na mina quando ela foi encontrada?
D) Após quanto tempo a mina terá metade da quantidade inicial?

Em uma mina de carvão precisa ser estimado a quantidade de carvão que ainda há na mina. Para isso foi demonstrada a quantidade que havia no primeiro ano de extração e no terceiro,

1º ano - 917.504
3º ano - 702.464

A) Obtenha a função que representa a diminuição de carvão.

702.464 - 917.504
-215.040 / 917.504
-0,234375 + 1
0,765625

Percebam que o valor encontrado equivale a dois anos.

B) Qual a diminuição anual de carvão?

Para calcular a diminuição percentual de um ano basta saber que a informação que nós temos é a diminuição percentual para dois anos, ou seja, é a mesma coisa que elevar a diminuição percentual de um ano ao quadrado, sendo assim, o que devemos fazer é a conta inversa, tirar a raiz da diminuição de dois anos.

√0,765625 = 0,875

Para calcular uma diminuição percentual, precisamos ao invés de multiplicar o 0,875 por 100 diretamente, descobrir então quanto falta para o 0,875 chegar em 1 e então multiplicar por 100. Assim:

0,875 - 1 = -0,125
-0,125 * 100
-12,5%

Portanto a diminuição percentual é de 12,5%

C) Qual a quantidade de carvão na mina quando ela foi encontrada?

Para saber essa quantidade precisamos calcular a porcentagem inversa.

Primeiro vamos calcular o valor no segundo ano:

917.504 * 0,875 = 802.816 ou 917.504 - 12,5% = 802.816

Calculado o valor no segundo ano, precisamos descobrir o percentual de aumento.

802.816 - 702.464 = 100.352
100.352 / 702.464
0,142 + 1
1,142857143 ou 14.2857143 %

Agora façamos:

1,142857143 * 917.504 = 1.048.576

O quantidade de carvão inicial era 1.048.576

D) Após quanto tempo a mina terá metade da quantidade inicial?

1.048.576 / 2 = 524.288
524.288 = 1.048.576 * 0,875^x
0,5 = 0,875^x
Ln 0,5 / Ln 0,875 = x
5,19

Após aproximadamente 5,19 anos.

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